Mathématiquement vôtre

Non réceptif ?

J’y comprends rien !

Je suis nul(le) !

Ca sert à rien !

C’est nul !

Ta gueule.

INTRODUCTION FOUILLIE AUX CONCEPTS

Je ne suis pas un passionné des mathématiques mais certains points de vue révolutionnent la vie courante. Suite à une petite discussion familiale un dimanche après midi derrière une galette, a émergé le sujet sur "l’infini". Qu’est ce que c’est ? Heureusement le copain de ma petite soeur (oui à 24 ans on est petite pour moi) s’y connaît et pour une fois je ne m’attèle pas seul à des démonstrations logiques face à la mauvaise foi de Maman.

* sourire *

Alors pour vous situer le contexte dans lequel je vais essayer d’expliquer un peu quelques notions, c’est Georg Cantor en 1891 (oui oui c’est vieux hein vous n’arrivez pas à comprendre des trucs qui ont plus de 100 ans niark niark), qui apporta un argument, un paradoxe permettant de dénombrer ou non des ensembles non fini donc infini. Bref tout d’abord quelques définitions très importantes - ça vous troue le cul ?

Dénombrer un ensemble qu’est ce que c’est ? C’est tout simplement pouvoir compter un à un ses éléments, leur attribuer un numéro, un rang sans en oublier un seul et sans avoir plusieurs numéros pour un même élément. Simple comme bonjour non ?

En réalité la vraie définition de "dénombrable" est la suivante : Un ensemble est dénombrable s’il est "équipotent" à N (N étant l’ensemble des entiers naturels, 0, 1, 2, 3, 4 etc), c’est à dire qu’il existe une bijection de cette ensemble avec celui des entiers naturels.

Oui oui je sais je complique. C’est quoi une bijection. Super facile. On prend deux gros ensembles (ou petits comme vous voulez mais pour expliquer aux dames les grosses sont des arguments souvent plus recevables ou touchant). Ils sont composés de plein d’éléments. Une fonction c’est une flèche qui relie un élément du premier ensemble vers le second.

Exemple : Soit f une fonction, f : E -> F est une fonction de l’ensemble E vers l’ensemble F qui relie des éléments de l'ensemble E vers l'ensemble F.

Facile ? Qui n’a pas compris ?

Je précise par l'exemple, f(n) = n + 2 est une fonction qui permet de relier un élément de la patate E à la patate F en précisant simplement que à l’élément 1 j’associe le 3, au 2 le 4, au 18 le 20 etc etc…

On dit qu’une fonction est bijective s’il existe pour chaque élement du premier ensemble (de la jolie première grosse patate) un et un seul élément de la seconde patate. En gros je n’ai pas le droit de faire de doubles flèches entre les potatoes ou de trucs à la con.

Dans notre cas on veut une bijection de l’ensemble qu’on a, vers l’ensemble des entiers naturels. Donc à associer chaque élément de l’ensemble qu’on veut dénombrer à un élément des entiers naturels. En gros ça revient à numéroter les éléments de l’ensemble.

Simple non ?

Je vous la refais ? Non ?

Oui retenez juste qu’on dit qu’un ensemble est dénombrable si on peut numéroter tous ses élements, les compter de manière distincte sans en oublier.

Donc en résumé, on donne des définitions mathématiques à des ensembles dénombrables (en parlant de bijection vers l’ensemble des entiers naturels) qui vont permettre de "formaliser" la chose, mais le concept logique qui se trouve derrière est "facile" à appréhender. Vous allez me rétorquer la chose simple, mais l’ensemble des entiers naturels (des nombres quoi), il est infini donc on ne peut pas le dénombrer. Et bien si mes petits amis, on peut attribuer à chaque entier (nombre) une étiquette, un rang. Facilement d’ailleurs, vous mettez sur 1, l’étiquette 1, sur 2 l’étiquette 2 et ainsi de suite.

L’ensemble des entiers naturels (des nombres pour simplifier le vocabulaire) est infini mais dénombrable.

J’ai lâché personne là en route ? Je pense que tout le monde a saisi non ?

Bref on continue.

La réciproque de ce que je viens d’affirmer est fausse. Tous les ensembles infinis ne sont pas dénombrables. Et oui, comme ça en regardant la définition que je viens de donner on en aurait l’impression n’est ce pas ? L’ensemble des nombres est dénombrables ET infini et pourtant il existe quantité énorme d’ensemble infini non dénombrables.

C’est une subtilité capitale en logique que l’existence de différents "types" d’infini. A ce niveau là tout le monde devrait avoir saisi ce petit point. Il va donc exister des ensembles de nombres qu’on ne peut pas étiqueter. L’ensemble des nombres réels en est le parfait exemple.

Ok ok pas taper.

C’est quoi l’ensemble des nombres réels ?

On reprend à 0.

Une petite classification des nombres s’impose pour bien fixer les choses.

1. Les nombres entiers naturels. Simple la base, 0, 1, 2, 3, 4, 5 etc. On commence par 0 et on calcule l’élément n en ajoutant un 1 à l’élément précédent.

2. Les nombres relatifs. Pas trop compliqué, ce sont les entiers naturels ainsi que les entiers négatifs. En gros on ajoute un - devant et on les trouve facilement.

3. Les rationnels. Attention on complique un peu. Et bien ce sont des nombres qu’on peut représenter sous la forme P/Q avec le nombre P qui est un entier naturel, et le nombre Q un entier relatif. Facile non ? Genre 1/3, 1/4, 8/14… Bien entendu Q doit être différent de 0. D’ailleurs c’est à partir d’ici qu’on commence à avoir du mal à dénombrer. Vous ne voyez pas pourquoi ?

4. Les nombres réels. Bah presque les plus compliqués. Ce sont tous les rationnels avec en plus tous les nombres bidons qu’on peut imaginer et calculer autrement. Vous ne voyez pas ? Beh Pi… Ou racine de 2 (bah oui on peut pas écrire racine de 2 sous la forme d’une fraction). Il y a aussi à l’intérieur tous les nombres transcendants. Alors là ça va devenir compliquer à exprimer, on va dire que ce sont des nombres de merde tout pourris.

Il existe un autre ensemble mais on s’en foutra un peu dans ce petit message. Et je ne m’apesantirais pas sur les nombres transcendants, trop chiant et long à vous expliquer quoi que… Vous vous posez peut être la question comment on a pu inventer tout ça non ? C’est vrai quoi, ça sert à quoi d’avoir tous ces ensembles ?

En réalité c’est d’une simplicité déconcertante et ça n’a trait qu’à la modélisation (aux équations) qu’on peut rencontrer dans la vie courante.

Beh oui au début on savait ajouter, donc facile de créer les nombres naturels… Après on a appris à soustraire, fallait bien rendre les choses. Puis on a commencer à faire des trucs plus compliqués comme multiplier ou diviser, et là sont neés les rationnels. En résumé, c’est à chaque fois pour résoudre des problèmes qu’on s’est heurté à la difficulté de modéliser des équations dans des ensembles. C’est très con mais le signe + en mathématique pour vous, représente l’addition, mais il est tout à fait possible d’imaginer d’autres "opérations". C’est ce qu’on vous a appris qui ne vous permet pas forcément de concevoir des éléments. Et croyez moi quand on connaît l’addition et la soustraction il est difficile de concevoir seul la multiplication, ça a pris quelques temps d’ailleurs.

Posons un peu de maths la dessus

Ensemble des entiers naturels x - 1 = 0 => x = 1 (équation facile)
Ensemble des entiers relatifs x + 1 = 0 => x = -1 (fallait y penser)
Ensemble des rationnels 3x = 2 => x = 2/3 (ça se complique là)
Ensemble des réels x² = 2 => x = racine de 2 (ah wai là c’est tendu)
Ensemble ??? x² = -1 => ???

Vous êtes coincé sur la dernière ? Comment un nombre au carré peut être négatif… Et bien c’est possible il suffit de l’inventer non ? Et ils ont eu le problème, ils l’ont résolu pour créer l’ensemble des nombres imaginaires… Si si je vous assure, ça va encore plus loin que ça les mathématiques. Des fous… Oui oui, des fous.

Mais bon revenons au sujet, en gros, ces trucs là genre x²+2x-1 qu’on appelle équation, on les nomme aussi “polynômes”. Celui que je viens de vous montrer est de degré 2.

Pourquoi je vous explique ça ? Hum. Tout simplement pour dire qu’un nombre transcendant c’est un nombre pouf comme ça qui ne permet de résoudre AUCUNE équation, qui n’est la “racine” d’aucun polynôme. Pouarf. Oué ça existe y en a tout une smala de nombre comme ça. Pi en est l’un des exemples les plus connus. D’ailleurs ce fût un vaste sujet au milieu et à la fin du 19ème siècle que la construction de ces nombres là.

Reprenons.

Nous en étions à dire qu’il existe des ensembles infinis dénombrables (comme les entiers naturels) et des ensembles infinis indénombrables (les nombres réels). Et oui on ne peut pas mettre une étiquette aux éléments des réels. Bah voui ils sont souvent infinis en décimal eux mêmes donc à du mal déjà à "savoir" à quoi ils ressemblent.

Bon c’est donc Cantor qui a démontré ça. Doué le petit par un paradoxe qu’on appelle celui de la diagonale et qu’on peut réutiliser très souvent pour démontrer la dénombrabilité ou non d’un ensemble infini. Je ne l’expliquerais pas en détail mais il est primordial dans la démonstration du théorème de Gödel, qui est l’axe principal de cet article (d’un lemme nécessaire à la démonstration pour être précis) mais aussi dans ce qu’on appelle le problème de l’arrêt en théorie de la calculabilité.

Parlons en tiens. Votre ordinateur il calcule, c’est son unique but, il ne sait RIEN faire d’autres. Et pour fonctionner les jolis programmes que vous avez doivent utiliser un certain nombre d’algorithme. Une chié même si je puis me permettre. Beh… Quand on utilise un algorithme, une façon de calculer comment peut on être sûr qu’on va aboutir à un résultat ? Qu’on va réussir ? On s’éloigne un peu des mathématiques. Les fonctions, ce que j’ai défini plus haut, sont des éléments primordiaux pour faire des calculs et nombre d’algorithmes à l’heure actuelle servent à "calculer ces fonctions". C’est là toute la difficulté réelle de l’informatique au delà de ce que vous pouvez voir. On ne voit souvent que le "code" qu’on écrit, les balises, les variables, la compilation, mais derrière tout ce fatras il est des théories complexes qui permettent de décider si on va pouvoir résoudre un problème.

Si si ! On est capable aujourd’hui de savoir si l’on va pouvoir résoudre un problème dans une théorie donnée… Révolutionnaire et pourtant on en parle moins que Gallilé ou De Vinci… C’est le théorème de Gödel qui permet cette "puissance". Une véritable révolution intellectuelle que beaucoup ne perçoive pas. Si si ! Une révolution intellectuelle sous plusieurs sens :

1. On peut dénombrer des ensembles infinis (ça vous en bouche un coin) et ça permet de revoir totalement nos définitions de "qu'est ce que l'infini si on arrive à la projeter ?"

2. On est capable de "décider" de l’existence ou non de la solution d’un problème dans une théorie cohérente donnée (en gros).

Alors un nouveau concept important. La décidabilité. Késaco ? Après avoir parlé de dénombrable nous allons voir que décidable n’est pas très éloigné. Un problème est dit décidable s’il existe un algorithme, une mécanique qui termine en un nombre fini d’étapes et qui réponde par oui ou par non au problème donné.

Vous voyez un lien avec la dénombrabilité ? La calculabilité ? Ce n’est pas très loin non ? Pas très loin de ces histoires d’infinis dénombrables ou non n’est ce pas ? On peut donc dire d’un problème qu’il est décidable (réponse oui ou non) ou indécidable (on ne trouvera JAMAIS de solutions). Oui il va falloir concevoir ça dans nos petits cerveaux. Un problème peut être indécidable, c’est à dire que selon la théorie qu’on a, la réponse n’existe pas.

L’exemple le plus frappant en informatique est le problème de l’arrêt, de l’arrêt ou non d’un programme. Est-ce qu’en fonction du code qu’on a écrit (même votre truc pourri en html tag) le programme va se terminer. Ce problème là est "indécidable". Il est impossible de trouver ou de créer un programme informatique, un algorithme, une mécanique qui permet de dire qu’un programme s’arrête ou non.

Dingue n’est ce pas… Et pourtant il est quantité de programmes qui s’arrête. Pouarf. Ca chauffe hein. En gros on est incapable d’écrire un compilateur informatique qui vous dira si le code que vous avez écrit boucle indéfiniment ou s’arrête. Et c’est un putain de problème chiant…

Oui oui je m’égare. Je parlais d’ensembles dénombrables tout à l’heure.

Mais Gödel. Dans l’article qui suivra, je vous montrerais le plus beau paradoxe auquel Gödel répond scientifiquement. Les mathématiques rejoignent parfois la religion, vous allez être surpris. Et ce terme s’applique à tout du moment qu’il est bien "utilisé" (en effet nombre de mathémaciens ont abusé de la chose et les étudiants ont même tendance à l’utiliser partout tellement il est magnifique pour les démonstrations d’indécidabilité). Après je pense que je vous montrerais quelques paradoxes sur l’infini, issu des définitions de dénombrables et indénombrables.

L'importance ici :

- Dénombrable / Indénombrable
- Infini dénombrable / Infini indénombrable
- Calculable
- Décidable / Indécidable

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Je suis ce que je veux mais je parais ce que je cache.

DE LA REVOLUTION DU THEOREME DE GOEDEL

Un homme rencontre un brasier qui se dit être Dieu. La question est : comment peut-il savoir que c’est Dieu, puisqu’il ne l’a jamais vu et ne sait pas à quoi il ressemble ?

Il peut s’agir là d’un esprit malin qui tente de le tromper par exemple. De même, s’il ne peut jamais être sûr que c’est Dieu à la première rencontre, comment peut-il alors savoir que les prochains êtres qu’il rencontrera seront Dieu ou pas? Il n’y a alors aucun moyen de prouver qu’il s’agit bien là de Dieu !

La solution du paradoxe réside dans le théorème d’incomplétude de Gödel: rien ne peut être prouvé comme vrai dans un ensemble. Autrement dit, nous ne faisons que partie d’un tout et donc ne pourrons jamais connaître la vérité à coup sûr sur le fonctionnement de notre ensemble/univers.

Tout ça pour en venir à quoi réellement ?

Un être humain est doué de réflexion, de mémoire, de perception. Il construit autour de lui un monde "cohérent", son éducation, sa vie sont des éléments constructeurs et constitutifs. Nous sommes comme de petits bâtonnets à qui l’on apprend à recracher beaucoup de connaissances ou à les appréhender, mais rarement à les concevoir. L’évolution des mathématiques en est une preuve formelle. Aujourd’hui, même si la recherche avance à grands pas, les théories révolutionnaires de gens comme Gödel, ont changé radicalement la donne et même en terme philosophique. La naissance de paradoxe rend soudainement la logique humaine branlante, prête à se casser la figure. On doute donc on n’est non ? Et pourtant…

La mathématique et Gödel prouve paradoxalement qu’il est impossible dans notre perception actuelle de l’univers, dans l’ensemble mathématique naturelle, le système cohérent qui nous constitue, de dire si Dieu existe ou non. La religion est définitivement morte au profil de la réflexion intérieure.

Mais encore faut il sentir cette révolution, la palper alors que lorsqu’on l’entend, elle ébranle les convictions des "croyants". Ne soyez donc plus si crédule, la foi n’a rien à voir avec la croyance, et jamais vous ne pourrez prouver l’existence de Dieu. Alors altérer encore et encore votre perception pour résister au changement, à tous ces paradoxes génant, démontrés, indécidables et scientifiquement prouvés…

Aller rétorquer moi que la science ne fait pas tout, que l’Homme peut se tromper dans ces démonstrations. Pourquoi se tromperait-il dans une science pure résultat de 5000 ans de réflexion de millions d’homme plus que sur l’existence de Dieu qui n’est que la perception rarement partagée de tout un chacun.

Jamais vous ne saurez si Dieu existe, il va falloir l’accepter. Gödel ne dit pas que Dieu n’existe pas mais que dans l’ensemble univers même infini que nous connaissons, il est impossible d’en déduire l’existence ou non de Dieu.

Paradoxe abusif mais qui montre la puissance et la révolution réelle que le "je suis nul", "je comprend rien", "je suis une bille" en maths relèvent… Ne soyez pas aveugle à la seule science qui sait répondre par oui, non ou impossible à démontrer et cessez de mettre en avant une méconnaissance pour cacher LA Vérité. Les mathématiques bousculent tellement de concepts philosophiques qu’ils en sont génant et restent en effet l’apanage de certains intellectuels. C’est une honte quand on considère la révolution qu’ils pourraient provoquer.

Je pourrais vous citer des dizaines de paradoxe sur Dieu, l’infini, sur des notions que l’on croit connaître ou pire savoir les réponses et que la mathématique démolit avec une rapidité déconcertante.

Bref ça fait bien longtemps que je ne me demande plus si Dieu existe ou non. La réponse de Gödel suffit à mettre la réalité en exergue. Mais elle gène cette réalité alors elle reste dans des cercles fermés. J’aurais presque l’impression que la soi-disant incompréhension mathématique n’est que le résultat inconscient d’une peur du paradoxe et de la destruction de la cohérence qui permet de lever sur deux pattes un individu…

Amen.

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DE L'INFINI

Après toutes ces considérations paradoxales, philosophiques, logiques, je vais continuer ma réflexion sur l’infini. Nous allons tout reprendre depuis le début car je sais que certains n’ont pas réussi à suivre. Voilà.

Quand vous étiez gamin, môme, petit chieur adepte du "pourquoi ?" vous vous êtes tous posé la question sans réponse, qu’est ce qu’il y a après. Vous comptiez jusqu’à 5, 10, 20, 100 ! Et après ? Non non ne mentez pas, tous nous nous posons la question et nous l’oublions car il n’est pas cohérent pour notre esprit à ce moment là de concevoir certaines choses pourtant très simples. On l’oublie oui. On l’imagine on met un mot dessus, l’infini et on se borne à continuer à apprendre la "logique" avec les nombres en oubliant l’aspect "imaginaire" et "créateur". Vous avez alors appris à ajouter, à soustraire, à "poser" des multiplications en omettant la réalité car il vous fallait un bagage pour avancer. Puis viens le collège, dis zone de bourrage de crâne. On vous fait croire à une pseudo réflexion mais en réalité c’est Thalès et Pythagore qu’il faut en garder, la résolution d’équations du second degré, mais jamais plus. Factoriser, développer… Pffff… Et vous avez oublié votre question de môme "il y a quoi après" ?

Beh mon petit gars, c’est l’infini. Toi tu ne sais pas ce qu’il y a après mais quand tu comptes nous on le sait, on est capable de le savoir. Mais on se garde bien de te le dire. Il te faudra un immense bagage mathématique pour le concevoir avec ton petit cerveau. Tu es trop jeune…

Bon beh moi gamin, je vais te l’expliquer.

L’infini déjà c’est tout ce qui n’est pas fini. Facile hein ?

Ne cherche pas à te représenter ce que c’est, c’est une "notion", c’est irréel, ça n’existe pas, c’est juste pour mettre un mot sur une idée et pour pouvoir en dialoguer.

Qu’est ce qui est infini alors ? Et qu’est ce qui ne l’est pas ?

Beh ça c’est LA question.

Sache juste qu’on ne trouve l’infini nul part. Pourquoi ? C’est une évidence nous sommes incapable de représenter "tout ce qui n’est pas fini" alors comment pourrait on s’avoir ce qu’est l’infini et le voir d’une manière tangible. C’est une des raisons de mon opinion sur l’univers qui n’est absolument pas infini. D’ailleurs rien n’est "réellement" infini puisque c’est une notion mathématique irréelle.

Bon bon jusque là rien de bien compliqué, une notion mathématique qui représente simplement tout ce qui n’est pas fini. Et c’est là que le bas blesse violemment, avec un premier paradoxe amusant que je me suis évertué à expliquer à ma maman.

Nous avons une p’tite tortue qui doit parcourir une distance de 1 Km. Distance finie, on sait qu’elle arrivera au bout de son chemin dans un temps donnée. Maintenant méditons quelques instants. A chaque fois qu’elle avance elle va devoir parcourir la moitié de la distance pour essayer d’atteindre la ligne d’arrivée. En gros, elle va devoir parcourir 500 m, puis 250 m, puis 125 m etc… Un nombre de longueur infini. Etrange non ? Si logiquement on sait qu’elle doit parcourir des demi-chemins pour atteindre l’arrivée et qu’elle arrive, elle parcourt quand même une infinité de demi-chemin…

1/2 Km + 1/4 Km + 1/8 Km + 1/16 Km + 1/32 Km + …

Tiens regardons quand même un peu en détail

1/2 + 1/4 + 1/8 = 0.875
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 0.9375
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 0.96875
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 0.984375

Et plus on ajoute de demi chemin plus on s’approche de 1. Comme quoi en parcourant une distance fini on peut avoir un chemin infini. Paradoxal non ?

Cette série de nombre est souvent noté

Σ 1 / (2^n) et se lit somme de 0 à l’infini de 1 divisé par 2 à la puissance n. Quand on développe cette somme on obtient les petits calculs au dessus. Mathématiquement cette série de nombre "converge" vers 1 comme vous l’avez constaté (ça se démontre), elle cherche à atteindre 1 sans jamais vraiment l’atteindre.

Et oui notre tortue parcours une infinité de moitié de chemin sur une distance totalement finie. Comme je le disais la dernière fois il existe plusieurs sortes d’infini et pire encore on trouve l’infini c’est à dire le non fini, partout sans pouvoir le représenter en dehors de la logique irréelle mathématique. Les grecs avaient déjà ces notions de deux infinis, la première que nous venons de voir des infinis que l’on peut atteindre et d’autres non réalisables. Bergson aussi dans "La pensée et le mouvant" s'amuse à essayer d'expliquer la décomposition du mouvement et le lien temporel... Il se heurte à ce paradoxe de tortue.

Dans l’évolution des mathématiques on commença donc par cette définition. On peut revenir sur l’histoire d’ailleurs à ce propos. La notion d’infini s’emmèle avec celle de philosophie et religieuse. Par exemple Blaise Pascal parlant des droits parallèles, "ces extrémités se touchent et se réunissent à force de s’être éloignées, et se retrouvent en Dieu et en Dieu seulement".

Amusant n’est ce pas ? Aujourd’hui il existe des systèmes géométiques où les droites sont courbes (très facile à imaginer quand on se place au niveau d’un satellite et qu’on regarde la trajectoire d’un être humain qui se déplace sur la terre et qui se considère comme allant en ligne droite). Mais les droites parallèles qui se joignent en l’infini est un principe géométique non euclidien amusant. Oui oui Euclide là le grec c’est lui qui a crée la géométrie dans laquelle vous avez appris tous vos petits théorèmes. Mais il en existe d’autres. D’ailleurs c’est à partir de ces notions d’infini qu’on a pu élaborer des théories beaucoup plus complexes. Attention c’est un axiome pas une propriété qu’on démontre puisqu’elle dépend du référentiel géométique dans lequel on se place. Je m’égare certe mais le concept est important. Puisque l’infini est une “notion irréelle” on peut bousculer les conventions mathématiques et structurantes que nous connaissons. Il existe des dizaines de géométries pertinentes différentes de celle que vous avez tous appris. Et nombres de mathématiciens qui ont voulu jouer avec les nombres les ont modifiés pour expliquer l’infini. M’enfin.

Comme je l’ai dit, la notion d’infini a pris toute sa valeur avec Cantor. De l’infini réalisable ou inatteignable que définisse les Grecs (oui maman tu imagines, tu ne conçois pas une chose qui existe depuis plus de 2500 ans…). Il s’amusa donc à essayer de distinguer les infinis pour arriver à la notion d’infinis dénombrables et d’autres indénombrables. Et oui il y a des endroits où l’on peut compter et d’autres non. Dans le cas de notre petite tortue, le nombre d’infinité de chemins qu’elle parcourt est… Dénombrable. Oui on peut “étiqueter” chaque chemin jusqu’à l’arrivée (c’est ce dont je parlais hier, on peut trouver un moyen de mettre une étiquette un rang à chaque chemin. La façon, la mécanique d’étiquetage est un peu moins évidente que celle pour les nombres entiers je vous l’accorde ce qui nuit à la perception d’un individu).

Aller je pense que vous avez tous compris ces deux types d’infinis dont les propriétés sont radicalement différentes et même à des théories mathématiques qui ont provoqué des révolutions sans précédent sur des notions de décidabilité.

Passons donc à une seconde étape. Il existe donc ces deux sortes d’infinis mais on peut se poser la question classique. "Papa il existe des infinis plus grands que d’autres ?" Héhéhé. Ils sont un peu tordus les mômes. Et bien non ? Tous les infinis sont équivalents ? Un second paradoxe pour vous faire fumer le cerveau.

On prend l’ensemble [1] des nombres. Simple.

On prend l’ensemble [2] des nombres au carré. Simple.

On est toujours capable d’associer un élément de l’ensemble [1] dans l’ensemble [2], TOUJOURS. Donc ces ensembles ont la même taille… Pourtant ils sont infinis. La notion de dénombrable joue un rôle très important. Oui oui on peut savoir que deux infinis donc des environnement non fini ont la même taille. Arrêtez donc de vous “représenter” l’infini comme une droite où l’on cherche toujours à aller plus loin, vous n’arriverez jamais sinon à saisir ces concepts "inventés". L’infini n’existe pas, c’est un "mot" pour une idée, pour représenter des modèles non fini qu’on ne peut pas percevoir. Deux infinis peuvent donc avoir une notion de taille et pire, de même taille.

On touche là à des concepts mathématiques très pécis, que vous n’appréhendez peut être pas mais qui représente des années d’études. Notamment le paradoxe suivant.

Imaginons un hôtel qui comprend une infinité de chambres. Elles sont toutes occupées.

Tiens paf il arrive une infinité de nouveaux clients.

Et bien l’hôtel pourra TOUS les loger.

Si si je vous assure.

Pourquoi ? A cause de la dénombrabilité mes amis ! On va pouvoir trouver un mécanisme, une façon de mettre un rang à chaque client dans l’hôtel.

L’astuce consiste à déplacer les anciens occupants : celui de la chambre 1 passe dans la chambre 2, celui de la chambre 2 passe dans la chambre 4, celui de la chambre 3 passe dans la chambre 6, celui de la chambre 4 passe dans la chambre 8 et ainsi de suite de façon à ce que les anciens occupants n’occupent que des chambres à numéro pair. Ainsi les nouveaux arrivants n’auront plus qu’à se loger dans les chambres à numéro impair qui sont en nombre infini !

Belle astuce n’est ce pas ? Difficile à concevoir ?

Et pourtant primordial car vous utilisez chaque jour des machines dont les processeurs ont comme première règle ce paradoxe. Il existe donc étrangement des infinis "équivalents".

Et c’est grâce au fou de gauche que le fou de droite a pu faire péter une bombe atomique sur Hiroshima . Tiens parlons quand même de Cantor. En réalité le mathématicien qui l’était tomba sur une question qui lui rongea l’esprit le reste de sa vie. Il en abandonna même les mathématiques… Je vous assure, il se posa la question suivante: Est il possible de concevoir un infini entre deux infinis ? Par exemple existe-t-il un infini entre les nombres et les nombres réels. Il s’orienta vers la philosophie et la théologie par la suite… Mathématiques et réflexions sur la vie sont si proches… Mais on préfère les enseigner comme une science "pure". Triste réalité. Gödel (le fou de gauche) répondit à sa question bien plus tard : la réponse à la question est indécidable… Ni vrai, ni fausse.

Amusez vous donc pour clore le sujet.

1 = 0.999999999…

Posons
x = 0.999999999…
10x = 9.999999999…
10x - x = 9.999999999… - x
9x = 9.999999999… - 0.999999999…
9x = 9
x = 1

…

Pas d’une rigueur monumentale mais très amusant.

Conclusion : On trouve partout "tout ce qui n’est pas fini". Sans insulte aucune ;-). C’est tellement simple qu’on n’arrive pas le concevoir puisque c’est en dehors de nos perceptions. Rappelez vous donc, il existe différents types d’infinis. Certains qu’on peut dénombrer, d’autres non.

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Je suis ce que je veux mais je parais ce que je cache.

PETITE TOUCHE FINALE

Bref rappel de ce que nous avons vu jusqu’alors. L’infini est une représentation mathématique de toute ce qui n’est pas fini. Elle n’a pas d’équivalent dans le monde physique et il serait stupide de prétendre que notre Univers perceptible et sensible serait infini alors que le mot infini est "irréel". Nous avons aussi vu qu’il existe deux sortes (au moins) d’infinis, dénombrables et non dénombrables. Je ne l’ai sans doute pas dit mais en physique on appelle aussi l’infini de référence l’ensemble des entiers naturels, "à chaque nombre suit un autre". Ne continuez pas à essayer de visualiser et percevoir une "idée". Est ce que vous essayez de voire à quoi ressemble l’Amour en le personnifiant ? A part la poésie qui s’en amuse, non. Alors faites de même pour l’infini en considérant qu’il est même en dehors de vos sentiments et de vos perceptions sensibles, irrationnel.

Aujourd’hui je vais juste ajouter quelques erreurs de langage à ne pas faire. Oui les mathématiques sont une science qui ne souffre d’aucun problème de “compréhension” dès qu’on connaît les termes précis et leur(s) signification(s). Un peu comme en philosophie avec son vocabulaire très particulier.

Bon parlons d’abord de la taille de l’univers qui n’est pas infini.

Nous allons donc considérer une chose très simple. Nous avançons à la vitesse de la lumière pour parcourir notre univers soit 300 000 Km/seconde. A cette vitesse, il nous faut 1,33 secondes environ pour atteindre la lune. Près de 500 secondes pour atteindre le soleil. Plusieurs heures pour atteindre les limites du système solaire, des mois pour traverser un amas de comètes qui entoure notre système solaire, plusieurs années pour atteindre d’autres étoiles comme notre soleil. Oui oui elles sont très éloignées (comme deux oranges distantes de 2000 Km sur notre Terre pour vous représenter une échelle). Pour traverser notre galaxie, il nous faut une centaine de milliers d’années, en quelques millions d’années les galaxies voisines (elles sont moins loin en terme de facteur que les étoiles dans une galaxie même comparativement à leur taille)… Et… Quelques milliards d’années pour explorer toutes les galaxies. Mais… L’univers a un âge de 15 milliards d’années environ… Vous avancez à la vitesse de la lumière pendant 15 milliards d’années, vous avez tout visité, tout dénombré, vu tout le monde sensible et perceptible. Vous avez vu tout l’univers visible que vous pouvez appréhender.

Ce qui est important c’est qu’à ce niveau nous manipulons des nombres qui n’ont aucune "consistance" physique. Mathématiquement correct des nombres comme 10^34 (10 à la puissance 34) n’ont aucune représentation visible correct dans notre univers (nous dépassons la taille de l’univers visible). En gros nous manipulons des nombres avec une facilité déconcertante mais ils ne sont que des vues de l’esprit. Cette facilité de manipulation est un gros soucis selon mon opinion dans l’appréhension des mathématiques et a tendance à mystifier et rendre confu toute la notion d’infini, ou d’univers connus. Il faut savoir faire une distinction entre une modélisation théorique du réel qui entraîne parfois des découvertes importantes (leur manipulation est d’une énorme abstraction) et une modélisation physique de représentation du réel.

Un paradoxe amusant serait d’offrir une machine à écrire à un singe (encore un paradoxe connu), pour qu’il essaie de reproduire à la longue une oeuvre de Proust. Oui vous allez voir. On lui file les 120 ou 130 caractères disponibles. Vous imaginez le nombre de possibilités ? Mathématiquement on peut écrire 120^1000000. Physiquement c’est inconcevable, à la longue le singe ne reproduira jamais l’oeuvre de Proust. Non ne cherchez pas à jouer avec un temps infini qui se déroule puisque l’infini n’est pas tangible. Le singe ne reproduira jamais du Proust.

Bon bref.

Vous doutez de l’univers fini ? Hum…

Et bien pour vous clouer la bouche le paradoxe de la duplication va finir de vous achever. Si l’univers était infini nous pourrions trouver à un autre endroit une terre en tout point similaire à la notre, avec la même évolution, avec la même vie, avec les mêmes individus et les mêmes relations entre ces individus, à accepter qu’il existe un jumeau qui fait exactement les mêmes gestes que vous à l’instant t. Et bien si, puisque l’univers est infini vous pourriez forcément tomber là dessus un jour. Ne serait-ce pas un peu irrationnel que d’imaginer ça ? Si l’univers était infini nous pourrions inventer des dizaines de milliers de paradoxes comme celui ci et justifier d’une quantité de questions sur laquelle nous réflechissons depuis bien longtemps. Restons réaliste, l’univers est fini. Nous trouverons sans doute de la vie ailleurs, mais une planète jumelle, avec des gens qui sont nos jumeaux, qui reproduisent toutes nos relations… Non ne soyons pas fantasques. La "non reproductibilité" d’un événement réel ajoute à cette preuve que l’univers ne peut pas être infini.

Le concept important c’est que rendre l’infini tangible est une erreur de notre perception. Croire que l’univers est infini impliquerait que deux événements identiques en tout point peuvent se déroulait or dans notre système actuel, dans notre perception, dans le temps, les événements sont non reproductibles. Le croire est une "vue de l’esprit" qui peut mener comme je l’ai dit à des idées amusantes pour la science fiction ou de bons romans, mais qui ne sont pas la réalité. On peut me rétorquer que nous n’avons pas encore tout découvert, que nous ne voyons pas tout… Soyons cartésien, l’esprit humain peut créé des dizaines d’hypothèses, mais la puissance des mathématiques fait qu’ils ne peuvent pas être remis en question car prenant pied dans une logique implacable et non pas dans des paradigmes. Qu’on critique la théorie de l’évolution oui, Darwin a fait des erreurs, c’est un paradigme qui nous permet de raisonner mais qui n’est toujours pas prouvé. Les mathématiques eux prennent pied dans des théories cohérentes et démontrée. Oui je sais on peut encore être hypocrite et me dire en quoi elles sont cohérentes, pourquoi ne peut on pas trouver une autre logique… Mais tout ça mes chers petits lecteurs, c’est "prouvé", beaucoup se sont posés la question avant vous, et les démonstrations pleuvent notamment sur la logique. Les mathématiques ne fondent pas sur une "perception" qui pourrait changer avec le temps. Pythagore sous la géométrie euclidienne ne peut pas être remis en cause, il est démontré et en plus on le constate dans la réalité, mais pire encore il est prouvé dans d’autres types de géométries radicalement différentes et fantasques pour les néophytes.

Vous saviez quand même que nous avions répondu à beaucoup de choses sans le savoir ? On est capable de savoir de tous les problèmes mathématiques si l’on peut trouver une solution (oui ou non) ou s’il n’existe pas de solutions. Vous n’êtes pas sans savoir qu’on est même capable de savoir si le temps qu’on prendra pour le résoudre est "acceptable" en terme physique. Si si je vous assure, on se contrefout de l’énoncé mais du moment qu’il prend une forme mathématique (hypothèse, question, théorie), on aura toujours une réponse… C’est la révolution dont je parlais. Il est difficile de l’énoncer en terme simple car elle nécessite un sacré paquet de connaissances pour en parler. Depuis le milieu du 19ième siècle les mathématiques ont fait un énorme voir gigantesque bond en avant. D’ailleurs on le voit bien dans l’impact sur l’évolution de la technologie qui avance même encore plus vite à l’heure actuelle. La société ralentit d’elle-même (pour faire du pognon) cette évolution. Autant avant c’était la religion qui mettait le ola, autant aujourd’hui le capitalisme (qui peut aussi être une religion) ralentit ce progrès.

Enfin bref j’espère que vous saisissez un peu mieux la notion d’infini.

Vous auriez aussi vu que les paradoxes sont devenus un jeu mathématique amusant pour se rattacher au réel. Il existe une floppée de théories sur l’univers, je préfère considérer que je ne sais pas plutôt que d’adhérer à des paradigmes qui ne sont nullement prouvés. Je reste mathématicien et cartésien dans l’âme. Bien qu’on constate que la littérature, la philosophie et la religion ne sont pas très loin de la mathématique…

Fin

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Je suis ce que je veux mais je parais ce que je cache.

Ca me semble à première vue bigrement intéressant. Peut-être pourrais-je un jour surmonter ma phobie des mathématiques, car la seule vue du mot "bijection" me renvoie l'image nauséeuse d'un prof penché sur moi tentant en vain de m'inculquer quelques notions avec forces gestes et postillons. Vous comprendrez alors mon haut-le-coeur quand ce mot m'a sauté aux yeux. Et bien que ce souvenir se rapproche de la caricature, je puis vous assurer qu'il n'est pas loin de la réalité...

Néanmoins, j'ai lu le premier post^^

Je persévère.
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Age : 25 Inscrit le : 29 Avr 2008 Messages : 52

Ah ah Bravo TrOn, c'est invraisemblablement captivant. Les mathématiques régissent la vie de bien des gens (de tous, mais les poètes nieront), par des lois simples et clairement énoncées, comme tu as pu le relater. C'est pourquoi j'ai pu sans peine arriver au bout de cette série d'articles (certes orange).

Ainsi l'on m'entendait dans ma geôle crier.

Le monologue avait le temps de varier.

Et je m'exaspérais, faisant la faute énorme,

Ayant raison au fond, d'avoir tort dans la forme.

Après l'abbé Tuet, je maudissais Bezout;

Car, outre les pensums où l'esprit se dissout,

J'étais alors en proie à la mathématique.

Temps sombre! Enfant ému du frisson poétique,

Pauvre oiseau qui heurtais du crâne mes barreaux,

On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux;

On me faisait de force ingurgiter l'algèbre;

On me liait au fond d'un Boisbertrand funèbre;

On me tordait, depuis les ailes jusqu'au bec,

Sur l'affreux chevalet des X et des Y;

Hélas! on me fourrait sous les os maxillaires

Le théorème orné de tous ses corollaires;

Et je me débattais, lugubre patient

Du diviseur prêtant main-forte au quotient.

De là mes cris.

Hugo - Les Contemplations - A propos d'Horace (extrait)

Tiens! N'est ce pas la preuve que ces personnalités éthérées s'emplissent de chiffres stochastiques pour les disposer dans leur engrenage du 'tangible', de l'explicable.

Je sais, je sais, une citation et quelques élucubrations d'un esprit d'os ne pèsent pas autant, mais je tenais simplement à encourager ce genre de démonstration.

PS : En Autriche, d'où je reviens tristement, il y avait une chaîne cablée consacrée à la Mathématique. J'y ai aimablement consacré un peu de temps, dans une société ou le x en tant qu'inconnue est trop souvent oubliée.

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Age : 19 Inscrit le : 23 Déc 2007 Messages : 25

Bon, j'ai tout lu, pour une fois qu'on tombe dans des mathématiques ^^
J'ai bien aimé dans l'ensemble, c'est en général clair. J'ai trouvé par contre que parfois on bondissait vite d'un sujet à l'autre, et que c'était parfois décousu, par exemple entre l'infini et Gödel. A propos de l'infini, je ne sais plus très bien ce que tu as dit (je vais pour me coucher là ^^"), mais pour moi je comprends qu'il ne soit pas tangible si appliqué à la physique. Mais si je pense en restant dans le domaine abstrait des maths, je ne vois plus pourquoi il ne le serait pas, et pourquoi je n'aurais pas droit à mon Shakespeare grâce à mon singe en un temps infini, et donc, tant qu'à faire, en une infinité d'exemplaires Razz

Si tu as fait la différence alors nous sommes d'accord, sinon... bah non ^^
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pas mal est assez intéressant
peut être que ça donnera la goût des maths a certain mais j'en doute vu la complexité de certain passage ^^

pour revenir a ta petit démonstration j'ai un doute,
Je me souvient qu'un prof de math avait essayé de me faire avaler la pillule il y'a un certain temps
mais alors déjà ça n'était pas passé ^^
tu expose ceci :
1 = 0.999999999…

Posons
x = 0.999999999…
10x = 9.999999999…
10x - x = 9.999999999… - x
9x = 9.999999999… - 0.999999999…
9x = 9
x = 1

On est d'accord cela ne peut évidemment être possible que si le nombre de 9 après la virgule n'est pas fini, on en a une infinité,
Dans ce cas on peut aussi s'amuser a dire que :

si x = 0.99999999999...
alors 10x = 9.99999999999...
par suite 10x = 9 - x - 0.00000000000...009...
donc x = 0.999999999...

Car il restera toujours des neufs au bout
car le principe utilisé ici est la limite, je pense qu'il est plus sage de dire que 0,99999999.. tend vers 1

Commençons par démontrer que ceci n'est possible que si le nombre de 9 après la virgule est infini,
Soit Un la suite géométrique définie par
Un=1/10*U(n-1)
et U1=0.9

On a donc U1=0.9, U2=0.09, U3 = 0.009 etc...
on concoit donc que la somme des termes de Un sera de la forme 0.9999999999 (avec 9 écris n fois le but sera donc de calculer une limite en + l'infini de la somme des termes de Un)

De plus la somme S des termes de Un= U1*(1-(1/10)^n)/(1-1/10)
soit
S=9/10*10/9 * (1-(1/10)^n)
S=(1-(1/10)^n)
or lim (1/10)^n = 0 car 1/10<1
donc lim S = 1
donc 0.999999999999999...=1 si l'on considéré et seulement si l'on considère que le nombre de 9 tend vers l'infini

On est d'accord cela ne peut donc évidemment être possible que si le nombre de 9 après la virgule n'est pas fini, on en a une infinité,
Dans ce cas on peut aussi s'amuser a dire que :

si x = 0.99999999999...
alors 10x = 9.99999999999...
par suite 10x = 9 - x - 0.00000000000...009...
Car il restera toujours des 9 au bout étant donné que celui-ci est infini
donc x = 0.999999999...
on retombe alors bien sur nos pattes ^^
tout est une question de points de vue je pense
car le principe utilisé ici est la limite, je pense qu'il est plus sage de dire que 0,99999999.. tend vers 1 ^^

Enfin ça aura occupé ma matinée lol
ton texte porte a réfléchir et je pense que c'était un peut le but donc excellent ^^
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